\section{充满高维空间的 Peano 曲线}

\begin{exercise}
    如图
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../imgs/2.3.2.png}
    \end{figure}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    我们知道$S^2 \cong \R^2$，而$\R^2 \cong \triangle$，进而$S^2 \cong \triangle$，我们称这个同胚为$\phi$。
    那么将我们在Peano曲线的映射$f$与$\phi$复合得到的$\phi \circ f$即为所求映射。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    可以，如上题所说，$\triangle \cong \R^2$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    我们认为单位立方体为$[0,1]^3$
    我们已经知道可以有一个从$[0,1]$打到单位正方形的$\square$连续满射$g$。
    以及一个恒等映射$1_{[0,1]}:x \mapsto x$，那么考虑映射
    $$
    h: \square = [0,1] \times [0,1] \map \square \times [0,1] = [0,1]^3 \qquad  (x,y) \mapsto (h(x),y)
    $$
    是连续的满射，
    那么$h\circ g$即为所求。
\end{exercise}